خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع وتمارين مع الحل

إنَّ إيجاد حل للمعادلات التربيعية يعني إيجاد قيم المجهول “المتغيّر” والتي تجعل المساواة صحيحة. كما تعلم أن هناك طرق عدّة يمكنك استخدامها لحل المعادلات من الدرجة الثانية، ولكن ما سنتطرق لشرحه بالتفصيل في هذا المقال هي طريقة حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع (الإتمام إلى مربع كامل). ^[1]

المعادلات التربيعية وإكمال المربع

سبق وقدّمنا لكم مقال مفصّل عن طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية، وكانت هذه الطريقة من ضمن المقال بالطبع، كما قدّمنا طريقة حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام، ولكن تابع معنا الآن بالخطوات والتمارين الوفيرة لطريقة إكمال المربع على وجه الخصوص مع الحل والشرح الكافي لكل الحالات، حيث تحتاجها للصف التاسع (ثالث متوسط).

الشكل العام للمعادلة التربيعية (من الدرجة الثانية):

ax² + bx + c = 0

• حيث أن a قيمة معلومة وأمثال x ولا تساوي الصفر a ≠ 0.
• b قيمة معلومة وأمثال المجهول x.
• c حدّ ثابت معلوم.

ولكن لحل المعادلات التربيعية بإكمال المربع عليك كتابة المعادلة المعطاة بالشكل:

ax² + bx = c

وذلك نحصل عليه بإضافة أو طرح c إلى طرفي المعادلة وفقاً لإشارة c في المعادلة المعطاة حتى نتخلّص من الحدّ الثالث في الطرف الأيسر، أو بعبارة أخرى نتمكّن من الوصول إلى هذا الشكل بنقل الحدّ c إلى الطرف الآخر مباشرةً، ولكن مع الانتباه إلى تغيير إشارته لإشارة معاكسة للأصلية.

1- خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع من الشكل x² + bx + c = 0

قد وردنا كثيراً سؤال حول حل المعادلة بطريقة اكمال المربع س۲ + ٦س – ١٦ = ٠ ، لذلك سنستعرض حل هذه المعادلة الآن وفق خطوات مرتّبة وواضحة، بحيث أن a = 1 أي أمثال “معامل” x² أو س۲ تساوي الواحد:

1. أولاً، لحل معادلة تربيعية من الشكل x² + bx + c = 0 بإكمال المربع، علينا تحويلها إلى الشكل x² + bx = c وفق ما تحدّثنا منذ قليل.
2. ثم نحسب قيمة ²(b/2) تبعاً لقيمة b المعطاة في المعادلة المطلوبة.
3. ثم نضيف ناتج هذا المقدار ²(b/2) إلى طرفي المعادلة، لإكمال المربع.
4. بعد ذلك نأخذ جذر الحدّ الأول وإشارة الحدّ الثاني وجذر الحدّ الثالث ونضعهم بين قوسين ونضع التربيع على القوس كاملاً.
5. في هذه الخطوة، نقوم بجذر طرفي المعادلة.
6. ثم نحصل على معادلات بسيطة الحل، ونوجد منها قيم المجهول، وبذلك نكون انتهينا من خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع. ^[2]

تمارين لحل المعادلات التربيعية بإكمال المربع مع الحل

مثال 1: حل المعادلة الآتية بإكمال المربع:

x² + 6x – 16 = 0 •

الحل:

• في البداية كما نوّهنا علينا كتابة المعادلة بالشكل x² + bx = c »

x² + 6x = 16

حيث قمنا بنقل 16 – إلى طرف المعادلة الثاني، كما قمنا بتغيير إشارته لإشارة معاكسة، أو من الممكن اتّباع ما يأتي للوصول إلى هذا الشكل كما شرحناه في الأعلى:

x² + 6x – 16 + 16 = + 16 » x² + 6x = + 16

• ثم نحسب: 9 = ²( 2 / 6 ) = ²( b/2 ).
• الآن نضيف الناتج 9 إلى طرفي المعادلة لإكمال المربع »»»

x² + 6x + 9 = + 16 + 9  »  x² + 6x + 9 = 25

• بعد ذلك أصبح بالإمكان كتابة الطرف الأيسر من المعادلة على الشكل »»

25 = ²( 3 + x )

• ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

x + 3 = 5  »  x1 = 5 – 3 = 2

x + 3 = – 5  »  x2 = – 5 – 3 = -8

إذاً، مجموعة جذور “حلول” المعادلة هي:

S { 2 ، -8 }

مثال 2: أوجد حل المعادلة التربيعية الآتية:

x² – 5x + 2 = 0 •

الحل:

• نقوم بطرح 2 من طرفي المعادلة أو ننقل 2 إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته لنصل إلى:

x² – 5x = – 2

•   4 / 25 = ²( 2 / 5 – ) = ²( b / 2 )
• (4 / 25) + x² – 5x + (4 / 25) = – 2
• 4 / 17 = ²( (5/2) – x )
• x – (5/2) = + √17/2 » x1 = + (5/2) + (√17/4)
• x – (5/2) = – √17/2 » x2 = + (5/2) – (√17/4)

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:

  S { + (5/2) + (√17/4) ، + (5/2) – (√17/4)}

2- خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع من الشكل ax² + bx + c = 0

إليك طريقة حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع من الشكل ax² + bx + c = 0، بحيث a ≠ 1. لا تزيد الخطوات عن سابقها سِوى بخطوة واحدة عليك فعلها قبل الشروع بالحل:

1. في البداية يجب أن نقسّم طرفي المعادلة بالكامل على أمثال x²، أي نقسّم على المعامل a، لنحصل على معادلة من الشكل x² + bx + c = 0.
2. ثم كالمعتاد يجب كتابة المعادلة بالشكل الآتي: x² + bx = c.
3. ثم نحسب المقدار ²(b/2).
4. بعد ذلك نضيف ناتج المقدار إلى طرفي المعادلة.
5. الآن نتمكّن من إكمال الطرف الأيسر إلى مربع كامل (إتمام إلى مربع كامل).
6. ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ونحل المعادلتين من الدرجة الأولى بكل بساطة لنحصل على قيم المجهول والتي هي حلول للمعادلة.

تمارين لحل المعادلات التربيعية بإكمال المربع مع الحل

مثال 1: أوجد حل المعادلة التربيعية الآتية بإكمال المربع:

4x² + 8x + 8 = 0 •

الحل:

• بدايةً، يجب أن نقسّم طرفي المعادلة بالكامل على المعامل a أي أمثال المجهول x² والذي يساوي 4 في المعادلة المعطاة:

»   x² + 2x + 2 = 0

• ثم الخطوة التي لا يمكن أن نتجاوزها دون تطبيق، وهي كتابة المعادلة بالشكل الصحيح لطريقة إكمال المربع:

»   x² + 2x = – 2

• بعد ذلك نحسب:

1 = ²( 2/2 ) = ²( b/ 2 )

• ثم نضيف 1 إلى طرفي المعادلة » x² + 2x + 1 = – 1 » x² + 2x + 1 = – 2 + 1
• الآن نكتبها بالشكل: 1 – = ²( 1 + x )

تنويه: لا توجد أعداد حقيقية مربّعاتها عدد سالب، وبالتالي المعادلة مستحيلة الحل أي ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية، فنوقف الحل.

مثال 2: استخدم إكمال المربع لحل المعادلة التربيعية الآتية:

2x² + 12x – 4 = 0 •

الحل:

• نقسّم طرفي المعادلة على a، حيث x² + 6x – 2 = 0 «  a = 2
• ثم نكتبها بالشكل » x² + 6x = 2.
• ثم نحسب المقدار » 9 = ²( 6/2 ) = ²( b/2 )
• بعد ذلك نقوم بإضافة 9 إلى طرفي المعادلة:

x² + 6x + 9 = 2 + 9 » x² + 6x + 9 = 11

• x + 3)² = 11)
• بجذر الطرفين نحصل على x + 3 = ± √11
• فتكون حلول المعادلة:

x + 3 = – √11 »  x1 = – 3 – √11

x + 3 = + √11 »  x2 = – 3 + √11

وبالتالي مجموعة جذور “حلول” المعادلة هي:

  S { – 3 – √11 ، – 3 + √11 }

أهم الأسئلة الشائعة حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

1- من طرق حل المعادلات التربيعية اكمال المربع؟

نعم، فإن حل المعادلات من الدرجة الثانية (التربيعية) بطريقة اكمال المربع (الإتمام إلى مربع كامل) واحدة من طرق حل المعادلة من الدرجة الثانية.

2- كم طريقة لحل المعادلات التربيعية؟

هناك خمس طرق لحل المعادلات من الدرجة الثانية، ولكل منها استعمال يناسب شكلها العام، والخامسة منهم غير دقيقة بشكل كافٍ:

• حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام.
• طريقة حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل.
• حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع.
• حل المعادلة التربيعية باستخدام الجذر التربيعي.
• طريقة حل المعادلات التربيعية بيانيا أي تبعاً لتمثيل بياني.

3- من خطوات اكمال المربع للمعادلة التربيعية نضيف معامل س إلى الطرفين؟

لا، إذا كانت المعادلة من الشكل أس٢ + ب س + جـ = ٠، فبالبداية نقسّم طرفي المعادلة بالكامل على معامل س٢ أي على أ، ثم نكتبها بالشكل س٢ + ب س = جـ، بعد ذلك نكمل خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع بإضافة المقدار ²( b/2 ) إلى طرفي المعادلة. ثم نقوم بإكمال المربع للطرف الأيسر ومن ثم الجذر ويليه حل المعادلات الخطية الناتجة للحصول على قيم المجهول س.

4- كيف يتم تبسيط المعادلات؟

يمكنك أن تقسّم طرفي المعادلة على أمثال x² ( المعامل a)، كما يمكنك أن تضيف أو تطرح رقم ما بذكاء من طرفي المعادلة لتحصل على معادلة مكافئة أبسط ممّا هي عليه.

5- متى يكون للمعادله حل وحيد؟

إن كنت تستخدم قانون المميز فيمكنك المعرفة مباشرةً، وذلك بعد معرفة قيمة المميز “دلتا” من القانون Δ = b² – 4ac. إذا كان Δ = 0، فللمعادلة حل وحيد (مضاعف).

هذه هي طريقة حل المعادلات التربيعية (من الدرجة الثانية) بإكمال المربع بالتفصيل مع تمارين محلولة حتى تتمكّن من الطريقة وتختبر نفسك. إن كان لديك أي استفسار اتركه لنا في صندوق التعليقات في الأسفل حتى تتم الإجابة عليه على الفور.

اقرأ أيضاً:

حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام وقانون المميز | تمارين محلولة