طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد | تمارين مع الحل

المعادلة هي مساواة تضم عدداً مجهولاً، ونرمز إلى هذا العدد المجهول بحرف أبجدي. ولإيجاد جميع قيم المجهول التي تجعل المساواة صحيحة علينا حل المعادلة من خلال معرفة كل قيمة للمجهول تحقّق المعادلة، وبالنسبة لحل المعادلات من الدرجة الثانية ^[1] هنالك أكثر من طريقة تمكّننا من حل المعادلة بشكل صحيح. تابع معنا الطرق مع القوانين وأمثلة توضيحية.

حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

إن المعادلة من الدرجة الثانية هي المعادلة التي يكون فيها أعلى أس من المرتبة الثانية “2” أي أعلى أس يحمل التربيع. كافة المعادلات من الدرجة الثانية تحتوي على متغيّر “مجهول” وليكن x يحمل الأس 2 على هذا الشكل x²، ولذلك يطرق عليها اسم المعادلة التربيعية أيضاً وتعرف بالإنجليزية “Quadratic equation”.

الشكل العام للمعادلة التربيعية (معادلة من الدرجة الثانية)

ax² + bx + c = 0

• حيث أن القيم a ، b ، c قيم معلومة.
• a معامل “أمثال” المتغير x².
• b معامل “أمثال” المتغير x.
• c حد ثابت.
• a ǂ 0 وذلك لأنه في حال كانت a = 0 ينعدم الحدّ الأول التربيعي وهذا غير ممكن.

1- حل المعادلات من الدرجة الثانية (التربيعية) بطريقة المميز “دلتا” Δ

تعرف هذه الطريقة بطريقة حل المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام القانون العام والتي تصلح لجميع المعادلات من الدرجة الثانية، فكل قيمة تحقق المعادلة نسميها حلّاً للمعادلة أو جذراً للمعادلة:

في الخطوة الأولى نحسب قيمة دلتا من تطبيق العلاقة:

Δ = b² – 4ac

ثم نناقش ما يأتي:

• إذا كانت Δ > 0 ( قيمة دلتا أكبر من الصفر )، فهذا يعني أن للمعادلة حلّان مختلفان وهما:

x1 = ( – b + √Δ ) / 2a    الحل الأول

x2 = ( – b – √Δ ) / 2a    الحل الثاني

• أمّا في حال كانت Δ = 0 ( قيمة دلتا مساوية للصفر )، فهذا يعني أن للمعادلة حلّان متماثلان أي حل وحيد (مضاعف) وهو:

x = – b / ( 2a )

• وإذا نتج Δ < 0 ( قيمة دلتا أصغر من الصفر )، فهذا يعني أن المعادلة مستحيلة الحل أي ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية.

تمارين عملية حل معادلات من الدرجة الثانية بطريقة المميز القانون العام مع الحل

مثال 1: أوجد حل المعادلة الآتية باستعمال القانون العام “المميز”:

x² + 4x + 4 = 0  •

الحل:

أولاً، نحسب قيمة Δ:

Δ = b² – 4ac = ( 4 )² – 4 × ( 1 ) × ( 4 ) = 0

نجد أن Δ = 0 » للمعادلة حلّان متماثلان أي حل وحيد “مضاعف” وهو:

x = – b / ( 2a ) = – 4 / ( 2 × 1 ) = -2

مثال 2: أوجد حل المعادلة الآتية:

3x² + 2x + 4 = 0  •

الحل:

أولاً، نحسب قيمة Δ:

Δ = b² – 4ac = ( 2 )² – 4 × ( 3 ) × ( 4 ) = – 44

نجد أن Δ < 0 » المعادلة مستحيلة الحل.

مثال 3: أوجد حل المعادلة الآتية:

x² – 2x – 2 = 0  •

الحل:

أولاً، نحسب قيمة Δ:

Δ = b² – 4ac = ( -2 )² – 4 × ( 1 ) × ( -2 ) = 12

نجد أن Δ > 0 » للمعادلة حلّان مختلفان:

• الحل الأول »

x1 = (- b + √Δ ) / 2a = (- (-2) + √12) / 2 × 1 = (2 + √12) /2

3√ + 1 =

• الحل الثاني »

   x2 = (- b – √Δ ) / 2a = (- (-2) – √12) / 2 × 1 = (2 – √12) /2

3√ – 1 =

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:S [ 1 + √3 ، 1 – √3 ]

2- حل المعادلات من الدرجة الثانية (التربيعية) بطريقة التحليل إلى عوامل

إن حل معادلة من الدرجة الثانية بدون مميز يستدعي طريقة أخرى لإيجاد حلول المعادلة، وبالتالي لدينا حل معادلة من الدرجة الثانية بالتحليل إلى عوامل. كما تعتمد هذه الطريقة على تحليل الطرف الأيسر من المعادلة ax² + bx + c = 0 أي نحلل هذا الطرف ax² + bx + c إلى عوامله، لذلك تابع معنا الخطوات في حال كانت a = 1 وتعرف بالتحليل المباشر.

1. أولاً، تحديد قيم a ، b ، c من المعادلة، بعد كتابتها بالشكل ax² + bx + c = 0 إذا كانت مكتوبة بشكل مغاير.
2. ثم البحث عن عددين مجموعهما يساوي قيمة b، وحاصل ضربهما يساوي c.
3. بعد ذلك نكتبها على شكل جداء أقواس مساوية للصفر.
4. ثم يكون إمّا القوس الأول يساوي الصفر، ومنه نجد قيمة x1 الحل الأول.
5. أو القوس الثاني يساوي الصفر، ومنه نجد قيمة x2 الحل الثاني.

تمارين عملية حل معادلات من الدرجة الثانية بالتحليل إلى عوامل مع الحل

مثال 1: أوجد حل المعادلة من الدرجة الثانية بالتحليل:

x² – 3x – 10 = 0  •

الحل:

• في الخطوة الأولى نجد أن:

  a = 1 ، b = -3 ، c = -10

• ثم نبحث عن عددين مجموعها يساوي 3- وحاصل ضربهما يساوي 10-
• بعد التفكير والتجريب نجد أن العددين 5-  و 2 يحققان الشرط السابق، وذلك لأن 10- = 5- × 2  و 3- = 2 + 5-
• بعد ذلك نكتب:

x + 2 ) ( x – 5 ) = 0 )

إمّا    0 = ( x + 2 ) »»   x = -2

أو     0 = ( x – 5 ) »»    x = 5

وبالتالي مجموعة حلول “جذور المعادلة” هي:S [ -2 ، 5 ]

مثال 2: إذا كانت a ǂ 1

2x² + 5x – 12 = 0  •

الحل:

  a = 2 ، b = +5 ، c = -12

2x – 3 ) ( x + 4 ) = 0 )

إمّا    0 = ( 2x – 3 ) »»  x = 3/2  «  2x = 3

أو     0 = ( x + 4 ) »»    x = -4

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:S [ -4 ، 3/2 ]

3- حل معادلة من الدرجة الثانية (التربيعية) بطريقة إكمال المربع ( إتمام إلى مربع كامل)

لحل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال المربع علينا في البداية كتابة المعادلة بالشكل ax² + bx = c، فإذا كانت مكتوبة بالشكل ax² + bx + c = 0 نحوّلها كما سبق بنقل c إلى الطرف الثاني مع تغيير إشارته وفق المعطى بالتمرين. بعد فهم هذه الخطوات تتمكّن من حل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال المربع بكل بساطة:

1. أولاً، نكتب المعادلة بالشكل ax² + bx = c.
2. ثم نوجد قيمة ²( b / 2 ).
3. ثم نقوم بإضافة ناتج الخطوة الثانية إلى طرفي المعادلة.
4. بعد ذلك نكتب الطرف الأيسر على شكل مربع كامل.
5. ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين.
6. ومن ثم نحل المعادلات الخطية الناتجة لنحصل على قيم x.

تمارين عملية حل معادلات من الدرجة الثانية بإكمال المربع (إتمام إلى مربع كامل) مع الحل

مثال 1: أوجد حل المعادلة الآتية:

x² + 4x + 1 = 0  •

الحل:

• في الخطوة الأولى نكتب المعادلة بالشكل الآتي: ax² + bx = c مع الانتباه إلى تغيير إشارة الرقم المنقول إلى الطرف الآخر.

x² + 4x = -1

• ثم نحسب: 4 = ²( 2 / 4 ) = ²( b / 2 )
• ثم نضيف الناتج ” 4 ” إلى طرفي المعادلة كالآتي:

   x² + 4x + 4 = -1 +4    »     x² + 4x + 4 = 3

• الآن نكتب الطرف الأيسر بشكل مربع كامل: x + 2)² = 3) ثم نجذر الطرفين:

 x = -2 + √3   ««   x + 2 = √3

 x = -2 – √3   ««   x + 2 = -√3

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:S [-2 + √3 ، -2 – √3]

مثال 2: أوجد حل المعادلة الآتية:

x² + 8x + 1 = 0  •

الحل:

x² + 8x = -1

16 = ²( 2 / 8 ) = ²( b / 2 )

16 + x² + 8x + 16 = -1

  x² + 8x + 16 = 15

15 = ²( x + 4 )

x = -4 + √15   ««   x + 4 = √15

x = -4 – √15   ««   x + 4 = -√15

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:S [-4 + √15 ، -4 – √15]

4- حل معادلة من الدرجة الثانية بدون مميز (بالجذر التربيعي)

يمكنك استخدام طريقة حل المعادلات من الدرجة الثانية بالجذر التربيعي فقط عندما يكون الحد الثاني bx من الشكل العام  ax² + bx + c = 0 معدوم أي تكون المعادلة من الشكل:

ax² + c = 0

1. في الخطوة الأولى ننقل جميع المعاليم إلى الطرف الآخر أي بحيث نجعل x² منعزلة في طرف.
2. ثم نقوم بجذر الطرفين.
3. ثم إيجاد حلول المعادلة.

تمارين عملية حل معادلات من الدرجة الثانية بالجذر التربيعي مع الحل

مثال 1: أوجد حل المعادلة الآتية:

x² + 1 = 26  •

الحل:

•  أولاً، ننقل 1+ إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته:

  x² = 25   ««    x² = 26 – 1

• ثم نقوم بجذر الطرفين:  x = +5   ،  x = -5

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:S [ +5 ، -5 ]

مثال 2: أوجد حل المعادلة الآتية:

x² + 4 = 20  •

الحل:

x² = 20 – 4  »    x²  = 16

وبجذر الطرفين:

x = +4   ،   x = -4

وبالتالي مجموعة حلول “جذور” المعادلة هي:S [ +4 ، -4 ]

أهم الأسئلة الشائعة حول حل المعادلات من الدرجة الثانية

1- كيف اعرف اذا المعادله من الدرجه الاولى او الثانيه؟

ننظر إلى أكبر أس للمجهول إذا كان أكبر أس من المرتبة الأولى 1 في المعادلة أي بالشكل x فهي معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. أمّا إذا كان أكبر أس من المرتبة الثانية 2 في المعادلة أي بالشكل x² عندئذٍ نقول أنها معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد.

2- متى تكون المعادلة ليس لها حل؟

إن كنت تحلّ المعادلة بطريقة المميز “دلتا” ونتج لدينا Δ < 0 أي قيمة دلتا سالبة، عندئذٍ نقول أن المعادلة مستحيلة الحل (ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقة).

3- ما هو قانون المميز في الرياضيات؟

إن للمميز “دلتا” قانون في الرياضيات وهو: Δ = b² – 4ac

هذه هي طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد أدرجناه لك بالتفصيل والأمثلة مع الحل. إن كان لديك أي استفسار اتركه لنا في الأسفل عبر صندوق التعليقات حتى تتم الإجابة على الفور.

اقرأ أيضاً:

طريقة كتابة عذر غياب للمدرسة | نماذج عذر غياب جاهزة 2023