ماهي مقاييس التشتت والنزعة المركزية و ما أهميتها

مقاييس التشتت والنزعة المركزية من أكثر المقاييس استخدامًا، و هذه المقاييس هي التي تمثّل إمّا قيمة واحدة أو أكثر من قيمة، و التي تعبّر عن البيانات الواقعة وسط مجموعة من القيم، و في هذا المقال سنتعرّف سويًا على تلك المقاييس و أهميتها.

مقاييس التشتت والنزعة المركزية

فيما يلي سنتحدث بشكل مفصّل عن مقاييس التشتت و ما هي أهميتها

1- مقاييس التشتت Dispersion

يستخدم علماء الرياضيات و الإحصاء أكثر من مقياس من أجل تحديد درجة الانجراف للبيانات عن القيمة الوسطية، أي مدى تشتت القيم و توزعها عن بعضها البعض و عن وسطها الحسابي، ثم و من خلال إيجاد تلك المقاييس يمكننا معرفة فيما إذا كان هناك أي تجانس بين القيم أم لا، و يطلقون على تلك المقاييس اسم : مقاييس التشتت ^[1]. و من أكثر مقاييس التشتت شيوعًا ما يلي :

1- المدى Term

المدى : هو الفرق بين أكبر قيمة من بين القيم و أصغر قيمة، أي المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة. و فيما يلي نبيّن خصائص مقياس التشتت المدى :

• في التوزيعات التكرارية يكون المدى = الحد الفعلي الأعلى لأكبر فئة – الحد الفعلي الأدنى لأدنى فئة.
• من خلال معرفة قيمة المدى يمكننا تحديد النطاق الذي تكون فيه القيم محصورة به، بشكل واضح.
• كما يمكن الاستعانة بالمدى في حال أردنا اتخاذ قرار سريع بصرف النظر عن الدقة العالية.

2- الانحراف المعياري Standard Deviation

الانحراف المعياري : هو من مقاييس التشتت والنزعة المركزية التي تعتمد على معرفة الفرق بين قيمة كل مشاهدة بشكل مستقل، و هو الجذر التربيعي للتباين، حيث يتم استخدام كلًّا من الانحراف المعياري و التباين من أجل معرفة التجانس بين القيم. و لإيجاد قيمة الانحراف المعياري علينا القيام بعدة خطوات، سنقوم بتوضيحها و تلخيصها كما يلي :

لو فرضنا أنّ الجدول الإحصائي التالي يحتوي على مجموعة قيم عددها n، نرمز لها بالرمز x، أي x1, x2, x3, x4, xn، و إذا افترضنا أيضًا أنّ قيمة المتوسط الحسابي لتلك القيم هي X، فالانحراف المعياري يتم حسابه وفق التالي :

1. نحسب أولًا الفرق بين كل قيمة من قيم الجدول الإحصائي و الوسط الحسابي، أي : (x-x1)، (x-x2).
2. ثم نقوم بتربيع كلّ فرق من الفروقات السابقة، مثلًا : مربع المقدار (x-x1)، مربع المقدار (x-x2)و حتى آخر قيمة.
3. بعد ذلك نقوم بضرب مربع الفروقات السابقة بعدد التكرارات لكل فئة، و من ثم نأخذ المجموع الكلي الناتج.

3- التباين Variance

التباين من مقاييس التشتت والنزعة المركزية و هو يمثِّل مقدار ابتعاد كل قيمة من القيم عن وسطها الحسابي. يمكن استخدام التباين في اختبار الفرضيات و الإحصاء الاستدلالي.

2- مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central Tendency

مقاييس النزعة المركزية هي المقاييس التي تصِف قيمة تقع في وسط مجموعة من القيم، و فكرة مقاييس النزعة المركزية تعود إلى الباحث الإنجليزي فرانسيس جالتون ^[2]. و مقاييس النزعة المركزية هي :

1- المتوسط الحسابي | الوسط الحسابي Arithmetic Average

الوسط أو المتوسط الحسابي هو مجموع جميع المفردات أو القيم الموجودة مقسومًا على عددها، أي عدد تلك المفردات أو القيم. و تتمثّل خواص المتوسط الحسابي بما يلي :

• يعتمد المتوسط الحسابي على جميع القيم و المفردات.
• المتوسط الحسابي هو نقطة اتزّان القيمتان.
• مربع الانحرافات يكون أقل ما يمكن عن الوسط.
• يتأثر المتوسط الحسابي بالقيم الشاذة و القيم المتطرفة، إذًا فهو لا يصلح للتوزيعات الملتوية.
• يعتبر المتوسط الحسابي من أقل مقاييس النزعة المركزية تأثّرًا بِما يسمّى بـ : التقلّبات العينية.
• كما لا يصلح المتوسط الحسابي لحالة الفئات المفتوحة بسبب عدم وجود مركز للفئة.
• مجموع انحرافات قيم المجموعة عن المتوسط الحسابي يساوي إلى الصفر.

أمّا أهمية المتوسط الحسابي فتكمن فيما يلي :

• يقوم المتوسط الحسابي بحساب جميع المفردات أو القيم الموجودة بدون أي استثناء لأي قيمة.
• يمثّل متوسطًا مفهومًا واضحًا للقيم أو المفردات في حال عدم وجود أي قيمة أو مفردة شاذة.
• يمثّل المتوسط الحسابي قيمًا عددية، و هذا يعني إمكانية إجراء العمليات الحسابية عليه.
• تعتبر عملية حساب المتوسط الحسابي سهلة جدًا.
• إضافة إلى أنّه يعتبر مناسبًا لحالة وجود عدد كبير من المفردات أو القيم.

2- الوسيط | الوسيط الحسابي Arithmetic Median

يعتبر الوسيط من مقاييس النزعة المركزية الذي يمثّل القيمة الوسطية بين مجموعة القيم، و ذلك عند ترتيبها ترتيبًا تنازليًا أو تصاعديًا، و هذا في حالة عدد القيم فرديًا، أمّا في حالة عدد القيم كان زوجيًا، فيكون الوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين المتوسطتين بعد ترتيب القيم ترتيبًا تنازليًا أو تصاعديًا أيضًا. باختصار : الوسيط هو ترتيب البيانات أو القيم من الأصغر إلى الأكبر أو من الأكبر إلى الأصغر، و من ثم اختيار القيمة الواقعة في منتصف القيم، و في حال وجود قيمتين وسطيتين نختار وسيطهما. و تتمثّل خواص الوسيط بما يلي :

• لا يتأثّر الوسيط بالقيم أو المفردات المتطرفة.
• يمكن استخدامه في التوزيعات الملتوية.
• يفضّل استخدام الوسيط في الفئات المفتوحة.
• يأتي بعد المتوسط الحسابي في تأثّره بـ : التقلّبات العينية.

أمّا أهميته فتكمن في إمكانية إجراء العمليات الحسابية عليه، و ذلك لأنه عبارة عن قيمة عددية خاضعة للعمليات الحسابية الأربع.

3- المنوال Mode

المنوال من مقاييس النزعة المركزية الذي يمثّل القيمة الأكثر تكرارًا من بين القيم الموجودة، أي البيان الأكثر تكرارًا، أمّا في حال وجود أكثر من قيمة مكررة فيمكن حينئذ أن يكون أكثر من منوال، أمّا لو لم يكن هناك تكرار لأي قيمة فهذا يعني عدم وجود منوال للقيم الموجودة! و تتمثّل خواص المنوال بما يلي :

• يتأثّر المنوال بطول المجموعة أو الفئة.
• غير ثابت.
• لا يمكن الاعتماد على المنوال في حالة الإحصاءات اللاحقة.
• يتأثّر المنوال كثيرًا بطريقة اختيار الفئات التكرارية للتوزيع، أي إذا قمنا بتغيير تقسيم الفئات في نفس فئة التوزيع، فهذا سيحدث تغيرًا في التكرارات و غالبًا يحدث معه تغيرًا في موقع ” الفئة المنوالية “، و بهذا نحصل على قيمة عديدة للمنوال.
• يفضّل عندما يكون : ” المقياس اسمي “.

المقياس الاسمي : هو المقياس الذي يستخدم من أجل وصف المتغيرات ضمن تصنيفات مميزة، و لا يتضمن ترتيب كمي أو قيمة، بالإضافة إلى أنّه من أبسط مقاييس القياس المتغيرة الأربعة.

أمّا أهمية المنوال فتكمن في أنّه :

• لا يتأثّر بالقيم الشاذة و بالتالي يعتبر من أهم المقاييس للفئات التي لا تحتوي على قيم شاذة.
• المنوال من المقاييس سهلة الفهم و سهلة القياس.
• يمكن أن يتم تعيين المنوال هندسيًا بكل بساطة و سهولة.
• يمكن استخدام المنوال في البيانات النوعية.

4- الوسط التوافقي Harmonic Mean

يعتبر الوسط التوافقي من مقاييس النزعة المركزية و الذي يتم استخدامه في حال كانت القيم أو المتغيرات على شكل ” نسَب “، حيث يستخدم ف يحال كان مقلوب المتغير فيه دلاله، كأن يتم تعيين نسبة بين متغيرين مرتبطين، مثل : السرعة نسبة إلى الزمن، إذًا الوسط التوافقي لمجموعة من المفردات أو القيم هو مقلوب الوسط الحسابي لتلك المفرادات أو القيم.

أهمية مقاييس التشتت والنزعة المركزية

بعد أن تعرّفنا سويًا على مقاييس التشتت والنزعة المركزية كلًّا منها على حِدا و بالتفصيل، سنذكر فيما يلي أهمية مقاييس التشتت والنزعة المركزية و التي تعتبر مهمة و ضرورية جدًا في العمليات الإحصائية :

1- التحليلات الإحصائية

تعتبر مقاييس التشتت والنزعة المركزية ضرورية جدًا و مهمة في القيام بالتحليلات و العمليات الإحصائية، حيث تعتمد كلٌّ من مقاييس التشتت و مقاييس الارتباط و مقاييس الانحراف و أرقام الفهرس على مقاييس النزعة المركزية. و بسبب الأهمية الكبرى للمتوسطات في علم الإحصاء، قال البروفيسور باولي : ” قد يطلق على الإحصاء حقًا اسم علم المتوسطات “.

2- القيمة التمثيلية

تساعد تلك المقاييس في العثور على القيمة التمثيلية، أي تساهم في تقديد قيمة واحدة لذلك التوزيع ( توزيع البيانات )، بحيث هذه القيمة تمثّل القيمة ككل، فهي تفيد في تحويل مجموعة من القيم إلى قيمة واحدة.

3- تكثف البيانات

غالبًا ما تكون القيم أو البيانات كبيرة جدًا التي يتم العمل عليها، و بالتال هذه المقاييس تساهم في مساعدة تكثف تلك البيانات بواسطة المتوسط الحسابي، و الذي يعمل على تحويل مجموعة القيم كاملة إلى قيمة واحدة ( رقم واحد )، و هذا يساهم في التكثف.

4- إجراء المقارنات

هناك العديد من الحالات التي يحتاج فيها المحلّلين للقيام بإجراء مقارنات بين مجموعتين من البيانات أو أكثر من مجموعتين جتى، بحيث تكمن أهمية تلك المقاييس في إمكانية معرفة القيم التمثيلية لتلك البيانات.

إلى هنا نكون قد وصلنا إلى ختام مقالنا الذي تعرّفنا فيه بشكل مفصّل على مقاييس التشتت والنزعة المركزية و أهميتها.

اقرأ أيضًا :

حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة ثالث متوسط رياضيات | تمارين محلولة

الاعداد النسبية وغير النسبية مع أمثلة في الرياضيات