نظرية فيثاغورس | إليك ثلاث طرق لإثباتها

نظرية فيثاغورس هي علاقة رياضية رئيسية في الهندسة الإقليدية ما بين أضلاع المثلث القائم، فما هي نظرية فيثاغورس و من هو صاحب هذه النظرية، ما هو إثباتها و مبرهنتها العكسية ؟ هذا ما سنعرفه في مقالنا اليوم فتابع معنا.

نظرية فيثاغورس

يقسم نص نظرية فيثاغورس إلى قسمين هما :

نظرية فيثاغورس القسم الأول

طول الوتر ( الضلع المقابل للزاوية القائمة ) يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين، و يمكن كتابة هذه النظرية كمعادلة كتابية  تتعلَّق بأطوال الساقين a  و b  و الوتر c كما يلي :

a ² + b ² = c ²

نظرية فيثاغورس القسم الثاني

( مجموع مساحة المربعين القائمين ÷ طول ضلعي الزاوية القائمة في المثلث القائم = مساحة المربع القائم ÷ الوتر في ذلك المثلث )

من هو فيثاغورس

فيثاغورس الساموسي فيلسوف و عالم رياضيات يوناني،  ولد عام 570 قبل الميلاد، حيث كانت تعاليمه منتشرة في ماجنا غراسيا قد ألهمت الفلاسفة، مثل أرسطو و أفلاطون، و قد نسب لفيثاغورس العديد من الاكتشافات العلمية و الرياضية في العصور القديمة، منها : المجسَّم الأفلاطوني و نظرية التناسب و التناغم الفيثاغورثي و نظرية فيثاغورس ^[1].

و على الرغم من أنَّ النظرية التي نُسبت إليه في العصور القديمة إلا أن هناك بعض الأدلة على أنَّ أجزاء من النظرية كانت معروفة في الثقافات القديمة السابقة، كما تساءلت بعض الدراسات الحديثة فيما إذا كان العالِم فيثاغورس على علمٍ بهذا أم لا، تم إثبات هذه النظرية من خلال العديد من الطرق المختلفة، أكثر من أي نظرية رياضية أخرى.

و قد كتب العالم إليشا سكوت لوميس في كتابة فرضية فيثاغورس الذي تم نشره في عام 1927 م عن هذه النظرية، حيث قدَّم في هذا الكتاب 370 طريقة مختلفة لبرهان هذه النظرية، و تم تصنيفها في أربعة أقسام، هي كما يلي :

 

• البراهين الجبرية التي تربط جوانب المثلث.
• البراهين الهندسية التي تقارن بين المساحات.
• البراهين الديناميكية أو الحركية التي تربط الكتلة و القوة.
• المتجهات.

جذبت نظرية فيثاغورس اهتمامًا خارج الرياضيات باعتبارها تمثيلًا للغموض الرياضي، و هناك مراجع عديدة لها في الأعمال الشعبية، مثل : مسرحيات الأدب، المسرحيات الموسيقية، الطوابع، الرسوم المتحركة والأغاني.

إثبات نظرية فيثاغورس

كما ذكرنا أنفًا يمكن إثبات نظرية فيثاغورس من خلال أكثر من طريقة، و لكننا سنذكر أبرز ثلاث طرق :

1- الطريقة الأولى في إثبات نظرية فيثاغورس

• النقطة د عامودية و تُنصف الضلع أ ج، يتم الوصل بين الرأس ب و بين النقطتين السابقتين ليتشكَّل لدينا مثلثين قائمين : ج د ب ، أ د ب.

• نلاحظ تشابه المثلثين القائمين ج د ب و أ د ب، لأنهما قائمان و مشتركان في الزاوية أ و من تشابهما نستنتج أنَّ :  نسبة طول الضلعان أد / أب = أب /أج فتنتج المعادلة التالية : A = أد * أج = ( أب )²

• ثم نلاحظ أيضًا تشابه المثلثين القائمين أ ب ج، ب د ج، لأنهما قائمان و مشتركان في الزاوية ج و من تشابهما نستنتج أنَّ : نسبة طول الضلعان د ج /ب ج = ب ج / أ ج، فتنتج المعادلة التالية  : B = د ج * أ ج =  ( ب ج )²

• ثم بتجميع المعادلة A و B : (أد * أج) + (دج * أج) = (أب)² + (ب ج)² ، و باستخراج ( أ ج) عامل مشترك  من قسم المعادلة الأيمن ينتج لدينا :

أج * ( أد + د ج) = (أب)² + (ب ج)² ، و بما أنَّ : أ د + د ج = أ ج مما يؤدي :

أ ج * أج = (أب)² + (ب ج) ² ، فهذا يعني : ( أ ج )² = (أب)² + (ب ج)² و هذه مبرهنة نظرية فيثاغورس ^[2].

2- الطريقة الثانية في إثبات نظرية فيثاغورس

• ( أ ب ج د ) شبه منحرف قائم في ج ، ب.
• قاعدتا شبه المنحرف ( أ ب ) = أ ، ( ج د ) = ب.
• ارتفاعا شبه المنحرف متساويان ( ب ج ) = ( أ + ب ).
• نقسم شبه المنحرف إلى ثلاثة مثلثات عن طريق وضع النقطة س على الخط الممثِّل للارتفاع، حيث ينقسم إلى : ( ب س ) = ب ، ( س ج ) = أ.
• ينتج ثلاثة مثلثات هما : ( أ ب س ) ، ( س ج د ) أضلاعهما  أ ، ب، ج، أمّا المثلث الثالث ( أ س د ) متساوي الساقين و قائم في ( س ) و طول كل من الساقين = ج.
• مساحة شبه المنحرف تساوي نصف طول القاعدة مضروبة بالارتفاع، و بما أنَّ الأرتفاع = ( أ + ب )، و القاعدة الأولى = أ، و القاعدة الثانية = ب، فهذا يؤدي إلى :

مساحة شبه المنحرف = (1/2) * (أ + ب) * ( أ + ب)، و مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة مضروبة الارتفاع و بالتالي :

مساحة المثلث الأول تساوي مساحة المثلث الثاني = (1/2) * أ * ب.

و مساحة المثلث الثالث = (1/2) * ج *ج، و بالتالي تصبح مساحة شبه المنحرف مجموع مساحة المثلث الأول، الثاني و الثالث،  فنعوِّض  كالتالي :

(1/2) * (أ + ب) * ( أ + ب) = (1/2) * أ * ب + (1/2) * ج *ج

ثم و بتبسيط المعادلة السابقة نتوصل لنظرية فيثاغورس : أ² + ب² = ج²

3- الطريقة الثالثة في إثبات نظرية فيثاغورس

• ق ل ر مثلث قائم الزاوية في ع، أطول أضلاعه بالترتيب : ( ق ر ) = أ ، ( ر ل ) = ب ، ( ق ل ) = ج.
• نرسم المربع ( و س ز ي )، طول كل ضلع يساوي مجموع الضلعين ( ب + ج ).
• نضع النقاط ( ط ف ج ح ) على أضلاع المربع (و س ) (س ز ) ( ز ي ) ( ي و ) على الترتيب، بحيث يكون و ط = س، ف = زج،  = ي ح = ب.
• ثم نصل بين النقاط فيتشكِّل لدينا المربع ( ط ف ج ح )، طول ضلعه = أ، و يتشكِّل بينه و بين المربع ( و س ز ي ) أربع مثلثات طول أضلاعه الثلاثة أ ، ب ، ج.
• مساحة المربع ( و س ز ي ) = مساحة المربع ( ط ف ج ح ) + مساحة المثلثات الأربعة المتطابقة أو مساحة أحد المثلثات ضرب 4
• و كما نعلم أنَّ مساحة المربع تساوي : طول الضلع*طول الضلع، و بالتالي : ( ب + ج )² = ( أ )² + 4 (1/2 *ب*ج).
• و بفك الأقواس تصبح المعادلة : ب² + ج² + 2*ب*ج = ( أ )²+ 2*ب*ج
• و بجمع الحدود نستنتج أن : ب² = ج² = أ²، و هي نظرية فيثاغورس.

مبرهنة نظرية فيثاغورس العكسية

تنص مبرهنة فيثاغورس العكسية على أنَّ :

إذا كان مربع طول ضلع في المثلث يساوي مجموع مربع مجموع طول الضلعين الآخرين، فهذا المثلث قائم و أطول الأضلاع هي الوتر و الزاوية المقابلة لتلك الضلع قائمة.

و لهذه النظرية العديد من التطبيقات في عدة مجالات كالهندسة و المساحة  و الفيزياء و الملاحة و البناء و الصناعة مثلًا :

• يتم استخدام هذه النظرية في الفيزياء لمعرفة إذا كانت القوة تعامد الإزاحة.
• و في المساحة لمعرفة الشكل مستطيل.
• و في الهندسة لمعرفة نوع المثلث قائم.

ثم إلى هنا نكون قد وصلنا إلى نهاية مقالنا، موجّهين في الختام رسالة الشكر و التقدير و الامتنان لِلعالم الكبير فيثاغورس و نظريته و جميع مساهماته في تأسيس علم الرياضيات التي ساعدت في تسهيل مجالات الحياة في الفيزياء و الهندسة و علوم الكمبيوتر و الكثير من المجالات الأخرى.

اقرأ أيضًا :

لا تنطبق نظرية الخلية على الفيروسات | الحل الصحيح 100%

ماهو اختراع هارب | برنامج الشفق النشط عالي التردد